О крайне назойливом, надоедливом человеке. Собственно русское, ироническое выражение с презрительным оттенком, которое возникло из житейских наблюдений.
Когда парились в бане и хлестали себя берёзовыми или другими вениками, листочки, отрываясь от веников, прилипали (приставали) к телу.
Так говорят про того человека, который постоянно и надоедливо обращается с просьбами, требованиями, придирками, издёвками к другому лицу.
Образ фразеологизма связан также с представлением о назойливом поведении мужчины, стремящегося добиться расположения понравившейся ему женщины, докучающего ей своим беспрестанным вниманием, в результате чего он становиться для неё неприятным, противным и невыносимым.
- — Ну, право, взял бы! Богом тебя прошу! — повторила жена… — Вот как банный лист пристала… ну куда я его возьму?
Лев Николаевич Толстой. «Хозяин и работник»
